上一期我们讲述了进制数及转换，这一期我们来了解计算机原码、反码和补码，本期内容重点是补码。

引入这三种编码的原因是什么？

是为了解决计算机减法问题，因为CPU运算器中只有加法器，所有要把减法转换加法来运算；

那么你可能会问，怎么不加个减法器呢？

其实这样除了节约成本外，比如：1-1=1+（-1）=0机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计也就更加简单。

为什么用补码进行存储？

简单介绍机器数，真值，原码和反码的背景。

1、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数0，负数为1。

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是0000 0011。如果是 -3 ，就是 1111 1101 。那么，这里的 00000011 和 1111 1101 就是机器数。 机器数包含了符号和数值部分。

2、真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值不等于真正的数值

例如上面的有符号数 1111 1101，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值253（1111 1101按无符号整数转换成十进制等于253）。

所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –0111 1111 = –127；这里所说的比如-3二进制代码为10000011，就是我们计算机里面对-3表示的原码码。下面介绍原码

在计算机内，有符号数有3种表示法：原码、反码和补码。

最高位表示数的符号，其他位表示数值

无符号数：值：255 （最小值 0）到（255最大值）（正0）

有符号数：值：127 （最小值-128）到（127最大值）（负1）

3.原码

概念：正数的原码等于本身，顾名思义原码就是原来的数

·例：【+7】原=00000111B 【-7】原=10000111B

【 +表示0 7——0表示符号位正——计算机字长是8位所以中间补够8位0000——7二进制表示111——B代表这个数是二进制数】

8位二进制可表示[1111 1111, 0111 1111]，即[-127, 127]

4.反码

·概念：正数的反码等于本身

例如：

【+7】原00000111B

【+7】反=00000111B

概念：负数的反码是由其原码的符号位不变，其余位按位取反

原码：【-7】原=10000111B

反码：【-7】反=11111000B

5.补码

概念：正数的补码等于本身

尽管C标准并没有指定某种有符号数的表示，但是几乎所有的机器都使用二进制补码。

【+7】原=00000111B【+7】补=00000111B

概念：负数的补码是有其原码的符号位不变，其余位按位取反，在最低位加1

例如：

原码：【-7】原=10000111B

补码：【-7】补=11111001B

什么是二进制的补码？

补码表示法概念：正数的补码与负数的补码一致，负数的补码符号位为1，这位1即是符号位也是数值位，然后加1

模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。

理解补数“模”的概念，这会帮助你加深理解这三码转换的数学原理

例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。

在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为16），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满16位也就是65536个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，16位二进制数，它的模数为2^16=65536。在计算中，两个互补的数称为“补码”。比如一个有符号8位的数可以表示256个数据，最大数是0 1 1 1 1 1 1 1（+127），最小数1 0 0 0 0 0 0 0 （-128）；那么第255个数据，加2和减254都是一样的效果得出的结果是第一个数据 ，所以2和254是一样的效果。对于255来说2和254是互补的数。

负数在计算机中如何表示？

举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？

很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。

但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码（Two’s Complement）表示负数

求一个正数对应补码是一种数值的转换方法，要分二步完成：

第一步

每一个二进制位都取相反值，即取得反码；0变成1，1变成0。比如，00001000的反码就是11110111。

第二步

将上一步得到的反码加1。11110111就变成11111000。所以，00001000的二进制补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。

不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？

二进制补码的好处

计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种用的爽直观方便的方式。

二进制的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

还是以-8作为例子。假定有两种表示方法。

一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？随便写一个计算式，16 + (-8) = ?16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：

０００１００００

＋１０００１０００原码形式-8

－－－－－－－－－

１００１１０００

可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。所以用原码表示负数是不行的。

现在，再来看二进制的补码表示法。

０００１００００

＋１１１１１０００补码形式-8

－－－－－－－－－

１００００１０００

可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

二进制补码的本质，本质是用来表示负整数的

在回答二进制补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个求补码步骤的转换方法是怎么来的。下面描述了一个正数怎么求它对应负数在计算机的表达方式。比如128，正数为10000000，但是惊奇的发现-128也是10000000。但是这里由于属于数据类型的限定，第八位同样一个1代表不同的含义，前面的 1是数值位，后面数的 1是符号位。

要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。用模数的概念解释如下图

已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

００００００００

－００００１０００

－－－－－－－－－- - - -

因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。

所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，这是重点；算式也就改写成：

１００００００００

－００００１０００

－－－－－－－－－- - -

１１１１１０００

进一步观察，可以发现可分拆为100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：

１１１１１１１１

－００００１０００

－－－－－－－－－

１１１１０１１１取反

＋０００００００１加一

－－－－－－－－－

１１１１１０００

二进制的补码两个转换步骤就是这么来的。

举个例子，比如-128补码的由来，先把正整数128二进制表示出来10000000求-128的补码

1 1 1 1 1 1 1 1

-1 0 0 0 0 0 0 0

－－－－－－－－－

0 1 1 1 1 1 1 1

+0 0 0 0 0 0 0 1

－－－－－－－－－

1 0 0 0 0 0 0 0

即-128的补码是10000000。8位的结构能表示的最小数是-128；

有些内容来自于：
https://blog.csdn.net/jq_ak47/article/details/45338061

二进制加减乘除原理：
https://blog.csdn.net/lyt_angularjs/article/details/80613228

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作者： TianshiyuMogui