机器学习-SVM(Hard-margin) 机器学习算法
haoteby 2024-12-30 04:15 8 浏览
SVM模型主要思想是最大化分类间距，支持向量机按照数据集的分布特点有以下三种：
1.线性可分SVM:如感知机算法处理
2.非线性SVM：完全不可分，如在感知机问题发展出来的多层感知机和深度学习
3.线性SVM：允许一点点错误，如感知机算法发展出来的 Pocket 算法处理的问题
这三种情况对于 SVM 分别有三种处理手段：1.hard-margin SVM 2.kernel Method 3.soft-margin SVM
Hard-margin SVM
支撑向量机也是一种硬分类模型，在感知机模型中，在线性模型的基础上叠加了符号函数，在几何直观上，可以看到，如果两类分的很开的话，那么其实会存在无穷多条线可以将两类分开。在 SVM 中，我们引入最大化间隔这个概念，间隔指的是数据和直线的距离的最小值，因此最大化这个值反映了我们的模型倾向。
模型分割的超平面可写成：θ=w(T)x+b
假设在一个平面上有两类，w(T)x+b>0时，y=1，相反，y=-1，间隔是指所有数据点到超平面的距离和最小，即
去掉分子的绝对值，我们可使y*超平面，因为
永远大于0，即间隔可化为
那么关于w，b参数的最大化间隔（约束为分类任务的要求）：
对于这个约束
，不妨固定
，这是由于分开两类的超平面的系数经过比例放缩不会改变这个平面，这也相当于给超平面的系数作出了约束。化简后的式子可以表示为：
这个是一个包含N个约束的凸优化问题，如果样本数量或维度非常高，直接求解困难甚至不可解，对于求解这类约束，我们可引入拉格朗日函数，然后去最大化拉格朗日函数：
原问题就等价于：
交换最小和最大值符号，就成了对偶问题：
对拉格朗日函数关于b求偏导的：
再将b代入拉格朗日函数，求关于w的偏导，得到w：
求得w和b后代入拉格朗日函数：
那么原问题就化为关于λ的最大化问题：
原问题和对偶问题满足强对偶关系的充要条件为其满足 KKT 条件：
从这一条件我们可以得到超平面的参数：
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